家庭の教育

【中学数学で磨く数学センス 数と図形に強くなる新しい勉強法】感想・レビュー


(2024/5/20更新)

はじめまして、はるパパです。

さて本日は、
コチラの本をご紹介します。

中学数学で磨く数学センス 数と図形に強くなる新しい勉強法

中学受験の算数の問題、
見たことありますか?

小学生が解くレベルなの?
と思うほど難しいです。

算数の家庭学習、
私が答え合わせをしています。

子どもが間違った問題を私も解きますが、
結構苦戦しますね。

実は、
もう1つ悩ましい問題があります。

子どもに解法を教える際、
このように言われることです。

「そんな解法思いつかないよ」
「そんな規則見つけられないよ」
「そんな知識は知らないよ」

算数の問題を見ると、
大人なら何となく閃いたりします。

たとえば、
(12×15)+(12×16)+(12×17)。

前から順に計算しても解けますが、
(15+16+17)×12の方が早い。

問題を見た瞬間に、
出題者の意図が何となく見えます。

前から順番に解く問題じゃないなと。

この閃きこそ、
算数センスだと思います。

規則性や関連性を見つけ、
もっと効率よく解けないか?

少なくとも、
1つずつ丁寧に解く問題じゃないな。

これに気づける子が、
算数で効率よく点を伸ばせます。

もちろん、
中学受験で志望校に近づくでしょう。

では、
算数センスを磨くにはどうすればいいか?

算数の不思議に迫り、
興味を持つところから始めればよい。

でも、
どうやってやればいいかわからない。

そんな方にオススメなのが、
コチラの本です。

中学数学で磨く数学センス 数と図形に強くなる新しい勉強法

子どもに算数センスを磨かせたいけど、
センス教えるのは難しいなぁ。

どうしようかと悩んでいる時に、
本書を見つけました。

内容は中学数学ですが、
おもしろい規則性や関連性が満載です。

本書から算数の不思議に迫り、
おもしろさを知れば自主的に学ぶかも。

そう考えて、
本書を購入しました。

算数の問題を見ると、
私はまず出題者の意図を考えます。

当然ながら、
出題者は解答を知っています。

何に気づけばこの問題は解けるのか?
どこかに規則性や法則はあるのか?
最も効率的な解法は何か?

ちょっとした探り合いですが、
見つかると難問でもすぐ解けます。

この探り合いにおもしろさを感じれば、
子どもの算数センスは磨かれてます。

きっと算数で高得点を出し、
志望校合格に近づくでしょう。

算数センスを磨くために、
ぜひ本書をご覧ください。

それでは本書の感想・レビュー、
ブログで紹介します。

皆様の参考になれば幸いです。

目次

第1部:「数」のセンスを磨く

第1部で参考になると思った箇所、
コチラです。

第1章:「九九表」の探求で磨く

P.17

・1の位には規則性がある

<例>
・1,3,7,9の段は、1~9までの数字が出てくる
・1の段に出てくる数字は、9の段に出てくる数字の逆順となっている
・2の段と8の段、3の段と7の段、4の段と6の段でも数字の逆順となっている 

第2章:「素数」の探求で磨く<その1>

P.41

・100未満の自然数に対しては2,3,5,7の倍数でなければ素数と判定できる

第3章:「素数」の探求で磨く<その2>

P.59

・317は右の数を落とした31や3も素数である
・このような数を素な素数という
・素な素数は有限個(27個である)

<例>
・最大の素な素数は73,939,133である
・73,939,133の右側に1~9のどの数を加えても、合成数になる
・n桁の素な素数が存在しないと、n+1桁の素な素数は存在しないので、素な素数は有限個しか存在しない

第4章:「2乗した数」の探求で磨く

P.66

・1~100までを2乗した数には法則がある

<例①>
・1~10まで見ると、2乗した数の1の位は1,4,9,6と続き、5が来た後には6,9,4,1と逆順に並び、0で終わる
・この順番は11~20、21~30…91~100まで同じである

<例②>
・10の位までを見ると、もとの数25を中心に折り返していることに気づく
・24²=576と26²=676、23²=529と27²=729…のように10の位までの数字が同じである

第5章:「3,4,5乗した数」の探求で磨く

P.75

・25³を中心に見ると、その前後の数に「数の並びの対称性」になる
・24³と26³の下2桁を足すと、100になる
・23³と27³の下2桁を足すと、100になる

第1章~第5章に共通するのは、
不思議な数字の関係です。

数字に何かしらの関係性が見えると、
算数の答えがパッとひらめきます。

数字の規則性を問う問題が、
わかりやすい例です。

関係性や規則性におもしろさを感じると、
算数や数学センスが磨かれます。

関係性や規則性を探る癖、
普段から養うと良いです。

第2部:「数」を「図形」でとらえるセンスを磨く

第2部で参考になると思った箇所、
コチラです。

第6章:「三平方の定理」の探求で磨く

P.93

・nを3以上の自然数とすると、aⁿ+bⁿ=Cⁿは整数解を持たない

第7章:「分数の小数表示」の探求で磨く

P.110

・n/mが有限小数でない場合、その小数表現は循環し、その循環節の長さは最大でもn-1である

<例>
・1/7=0.142857142857…(循環小数は7-1=6である)

第8章:「数の操作」の探求で磨く

P.138

①2桁の自然数と、その10の位の数と1の位の数を入れ替えてできる数との和は、11の倍数である。
②2桁の自然数と、その10の位の数と1の位の数を入れ替えてできる数との差は、9の倍数である。

<例>
①42+24=66(6×11)、17+71=88(8×11)
②92-29=63(7×9)、42-24=18(2×9)

第6章は有名な、
フェルマーの最終定理です。

ピタゴラスの定理(三平方の定理)、
n=2ならa²+b²=C²は存在します。

たとえば、
3²+4²=5²ですね。

でもn=3以上は整数解が存在しない。
350年以上誰も証明できなかった定理。

証明見ても私には理解できませんが、
数学に興味を持てばいいレベルかと。

第7章も不思議ですよね。

π=3.141592…は循環しないのに、
分数は割りきれない場合に循環する。

これも理屈はよくわからないけど、
計算問題で何かの役に立つかも。

第8章は文字式で、
カンタンに証明できます、

①(10a+b)+(10b+a)=11(a+b)
②(10a+b)-(10b+a)=9(a+b)

中学数学の範囲ですが、
小学生でも十分理解できます。

このような考えがひらめくと、
数学センスは上がりますね。

第3部:「図形」のセンスを磨く

第3部で参考になると思った箇所、
コチラです。

第9章:「正多面体」の探求で磨く

P.162

・正多面体は5種類しか存在しない(正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体)

<理由>
・正三角形を1つの頂点に6枚以上集めると、60゜×6=360°で平面となり、組み立てようとしてもへこみが出来てしまう
・正方形を1つの頂点に4枚以上集めると、90゜×4=360°で平面となり、組み立てようとしてもへこみが出来てしまう
・正五角形を1つの頂点に4枚以上集めると、108゜×4=432°となり、組み立てようとしてもへこみが出来てしまう

第10章:「多面体」の探求で磨く

P.189

・(頂点の数)-(辺の数)+(面の数)=2

<例>
・正四面体:4-6+4=2
・正六面体:8-12+6=2
・正八面体:6-12+8=2
・正十二面体:20-30+12=2
・正二十面体:12-30+20=2

第11章:「平面の敷き詰め問題」の探求で磨く

P.222

・頂点に集まる面の数は、正三角形では6枚、正方形では4枚、正六角形では3枚である
・2枚が集まる場合は、内角は180°であり、そのような正多角形は存在しない

第9章に登場する正多面体、
中学校で学びましたよね。

正多面体が5種類しか存在しない理由、
頂点の角度から説明できます。

当時は何でだろう?と思ったけど、
言われてみれば納得できますね。

第10章はオイラーの多面体公式です。

例を見ると、
正六面体と正八面体、
正十二面体と正二十面体に対極性が見える。

一部だけ覚えれば、
対極性から全部導けますよね。

このような見方ができると、
数学センスが上がります。

第11章は平面敷き詰めですね。

これも角度を考えるとわかりやすく、
ポイントは360°を作れるかどうか。

正三角形、正方形、正六角形の角度、
60°、90°、120°なので360°が作れる。

逆に正五角形は108°なので、
360°が作れず平面に敷き詰められない。

角度から考える癖をつけると、
数学センスは上がりますね。

まとめ

各章で参考になると思った箇所、
まとめました。

第1部:「数」のセンスを磨く

第1章:「九九表」の探求で磨く

P.17

・1の位には規則性がある

<例>
・1,3,7,9の段は、1~9までの数字が出てくる
・1の段に出てくる数字は、9の段に出てくる数字の逆順となっている
・2の段と8の段、3の段と7の段、4の段と6の段でも数字の逆順となっている 

第2章:「素数」の探求で磨く<その1>

P.41

・100未満の自然数に対しては2,3,5,7の倍数でなければ素数と判定できる

第3章:「素数」の探求で磨く<その2>

P.59

・317は右の数を落とした31や3も素数である
・このような数を素な素数という
・素な素数は有限個(27個である)

<例>
・最大の素な素数は73,939,133である
・73,939,133の右側に1~9のどの数を加えても、合成数になる
・n桁の素な素数が存在しないと、n+1桁の素な素数は存在しないので、素な素数は有限個しか存在しない

第4章:「2乗した数」の探求で磨く

P.66

・1~100までを2乗した数には法則がある

<例①>
・1~10まで見ると、2乗した数の1の位は1,4,9,6と続き、5が来た後には6,9,4,1と逆順に並び、0で終わる
・この順番は11~20、21~30…91~100まで同じである

<例②>
・10の位までを見ると、もとの数25を中心に折り返していることに気づく
・24²=576と26²=676、23²=529と27²=729…のように10の位までの数字が同じである

第5章:「3,4,5乗した数」の探求で磨く

P.75

・25³を中心に見ると、その前後の数に「数の並びの対称性」になる
・24³と26³の下2桁を足すと、100になる
・23³と27³の下2桁を足すと、100になる

第2部:「数」を「図形」でとらえるセンスを磨く

第6章:「三平方の定理」の探求で磨く

P.93

・nを3以上の自然数とすると、aⁿ+bⁿ=Cⁿは整数解を持たない

第7章:「分数の小数表示」の探求で磨く

P.110

・n/mが有限小数でない場合、その小数表現は循環し、その循環節の長さは最大でもn-1である

<例>
・1/7=0.142857142857…(循環小数は7-1=6である)

第8章:「数の操作」の探求で磨く

P.138

①2桁の自然数と、その10の位の数と1の位の数を入れ替えてできる数との和は、11の倍数である。
②2桁の自然数と、その10の位の数と1の位の数を入れ替えてできる数との差は、9の倍数である。

<例>
①42+24=66(6×11)、17+71=88(8×11)
②92-29=63(7×9)、42-24=18(2×9)

第3部:「図形」のセンスを磨く

第9章:「正多面体」の探求で磨く

P.162

・正多面体は5種類しか存在しない(正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体)

<理由>
・正三角形を1つの頂点に6枚以上集めると、60゜×6=360°で平面となり、組み立てようとしてもへこみが出来てしまう
・正方形を1つの頂点に4枚以上集めると、90゜×4=360°で平面となり、組み立てようとしてもへこみが出来てしまう
・正五角形を1つの頂点に4枚以上集めると、108゜×4=432°となり、組み立てようとしてもへこみが出来てしまう

第10章:「多面体」の探求で磨く

P.189

・(頂点の数)-(辺の数)+(面の数)=2

<例>
・正四面体:4-6+4=2
・正六面体:8-12+6=2
・正八面体:6-12+8=2
・正十二面体:20-30+12=2
・正二十面体:12-30+20=2

第11章:「平面の敷き詰め問題」の探求で磨く

P.222

・頂点に集まる面の数は、正三角形では6枚、正方形では4枚、正六角形では3枚である
・2枚が集まる場合は、内角は180°であり、そのような正多角形は存在しない

まとめ

中学受験の算数、
とても難しいです。

学校の授業で学ぶレベルでは、
到底解けないでしょう。

実際に問題を見て思うのは、
塾で教わらないと解き方すらわからない。

それに加えて、
算数センスがないと解答が閃かないです。

何かの規則性が閃くセンスとか、
図形で補助線を引くセンスとか。

ある程度は塾で学べても、
最後は算数センスが勝負となる。

何かの本で読んだのですが、
中学受験は算数勝負だそうです。

国語・社会・理科では、
得点にあまり差がつかないそうです。

ひねった問題を出せないからです。

なので得点差をつけさせるために、
算数でひねった問題が出されるとか。

算数で勝とうと思ったら、
算数センスは欠かせないのです。

と言っても、
算数センスは簡単に磨かれない。

ではどうすればいいか?

まずは算数のおもしろさを教え、
算数に興味を持たせると良いです。

規則性の発見は、
その1つになりやすいです。

子どもは不思議なものに興味を持つ。
まさにうってつけですよね。

本書の内容は中学数学です。

しかし、
算数センスを磨くには、
ちょうど良い内容だと思いますね。

本書は中学数学の範囲とは言え、
中学受験する小学生でも十分学べます。

数学の規則性や図形の対極性など、
中学受験の算数でも役立つ内容です。

もし中学受験をされるなら、
本書をぜひお読みください。

算数のテスト、
最後はセンスが問われる内容です。

規則性や対極性を知っていれば、
難問でも解ける可能性が生まれます。

もしこの1点2点が合否の差になるなら、
絶対に知っておいた方がいいですよね。

算数センスを磨き、
中学受験で算数の難問に挑みましょう。

きっと難問が解け、
志望校合格が近づきますね。

本書のお値段は1,100円、
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中学数学で磨く数学センス 数と図形に強くなる新しい勉強法

お問い合わせ|子供へのお金の教育 (children-money-education.com)

この記事を書いたのは・・・

はるパパ

  • 小学4年生のパパ
  • 子どもの教育(世界一厳しいパパ塾?)、ブロガー、投資家
  • 投資の悪いイメージを払拭したい(難しい、怪しい、損する)

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